泊松分布和指数分布

二项分布

泊松分布是由二项分布推导得到的。假设一个事件的发生概率为$p$，则不发生的概率为$1-p$，独立测试$n$次，则发生$k$次的概率为：

$$P(n,k,p)=C_n^k\cdot p^k(1-p)^{n-k}$$

上式就是二项分布的概率函数，二项分布的期望和方差可以很容易推导得到分别是$np$和$np(1-p)$。

泊松分布

泊松分布是关于一段时间内事件发生次数的概率密度函数。首先我们可以任意设定一段长度的时间为单位时间，然后将这段单位时间划分为$n$份，我们可以认为$n$足够大使得每份至多发生一次事件且每份之间是相互独立的。现在问题是求单位时间内事件发生次数，我们可以认为$n$份每一份发生时间的概率为$p$，则随着$n$的无限增大，$p$无限接近于0，我们认为$\lambda=np$是一个常数。现在我们可以使用二项分布的极限推导出泊松分布：

$$P(k)=\lim_{n\rightarrow\infin,p\rightarrow0}\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}p^k(1-p)^{n-k}\\=\lim_{n\rightarrow\infin,p\rightarrow0}\frac{n^k}{k!}p^k(1-p)^{n-k}\\=\lim_{n\rightarrow\infin,p\rightarrow0}\frac{\lambda^k}{k!}(1-p)^{\frac{\lambda}{p}-k}\\=\lim_{n\rightarrow\infin,p\rightarrow0}\frac{\lambda^k}{k!}\{(1-p)^{-\frac{1}{p}}\}^{-\lambda}\frac{1}{(1-p)^k}\\=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$

上式就得到泊松分布的概率函数，泊松分布的期望和方差等于求二项分布的期望和方差的极限，容易得到是$np=\lambda$和$np(1-p)=\lambda$。

指数分布

指数分布是关于事件时间间隔的概率密度函数，可以从泊松分布推导得到。我们从泊松分布可以轻易得到在$t$个单位时间内不发生事件的概率，这个概率可以看作是两个事件时间间隔大于$t$的概率。在$t$个单位时间划分$tn$份，则有$t\lambda=tnp$，通过相同的推导可以得到：

$$P(T\gt t)=e^{-\lambda t}$$

所以有：

$$P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}$$

上式是一个分布函数，可以得到其概率密度函数为：

$$P(T=t)=\lambda e^{-\lambda t}$$

上式就是推导得到的指数分布的概率密度函数。指数分布的期望推导如下：

$$E[x]=\int_0^{\infin}\lambda xe^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}\int_0^{\infin}\lambda xe^{-\lambda x}d\lambda x=\frac{1}{\lambda}(\lambda xe^{-\lambda x}+e^{-\lambda x})|_{\infin}^0=\frac{1}{\lambda}$$

指数分布的方差推导如下：

$$E[x^2]=\int_0^{\infin}\lambda x^2e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda^2}\int_0^{\infin}\lambda^2x^2e^{-\lambda x}d\lambda x=\frac{1}{\lambda^2}(\lambda^2x^2e^{-\lambda x}+2\lambda xe^{-\lambda x}+2e^{-\lambda x})|_{\infin}^0=\frac{2}{\lambda^2}$$ $$D[x]=E[x^2]-E[x]^2=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2}$$

以上就是指数分布的期望和方差推导，总结起来就是指数分布的期望是$\frac{1}{\lambda}$，方差是$\frac{1}{\lambda^2}$。