前言
我们经常可以看到某些算法使用到拉普拉斯矩阵，比如在谱聚类算法中用到拉普拉斯矩阵，在图卷积神经网络中用到拉普拉斯矩阵等等。为什么会用到拉普拉斯矩阵呢，拉普拉斯矩阵的作用及意义是什么，其实这些都和拉普拉斯算子的作用及意义有关。
拉普拉斯算子
在介绍拉普拉斯矩阵之前，先介绍一下拉普拉斯算子。拉普拉斯算子有以下形式：
也就是说拉普拉斯算子是求函数关于参数的二阶梯度。形式上是求二阶梯度，其实本质是求散度。什么是散度呢？在标量场上，我们可以求得梯度，而在向量上，我们可以求得散度。在向量场上，每个点都有一个向量，如果我们在这个场上取一个封闭的单位元，比如在三维空间中就是球体，在二维空间中就是圆，然后使用下面的公式计算单位元表面的积分：
这个积分就是表示散度。而拉普拉斯算子就是首先计算标量函数的梯度，然后再计算梯度的散度，写成的形式就是二阶梯度的形式，但散度是一个标量而不是一个向量。求散度有什么意义呢，对于一个函数，我们知道，在极大值处散度是负的，因为梯度是向内吸收，而在极小处是正的，因为梯度是向外发散，而对于一般的情况，散度可以表示梯度的变化情况，散度为负表示梯度减小，散度为正表示梯度增大。
拉普拉斯矩阵
拉普拉斯矩阵其实本质和拉普拉斯算子一样，都是为了求散度。在图结构的数据中，我们可以给图的节点定义一个函数$F$，表示将节点映射到一个值。有了函数，我们就可以定义梯度，在原来的函数梯度定义中，我们有：
这条式子的分子处表示函数的增量，分母处表示$x$和领域的增量。在图中，我们可以类比，节点的领域就是图中和该节点相邻的节点，所以函数增量和领域距离都可以得到了，这样就可以求出关于节点的函数的梯度了，有下面的式子：
上面的式子是求从节点$a$到节点$b$这条边求梯度，$d_{a,b}$表示这条边的距离，一般我们用权重的倒数表示距离。得到了梯度，求散度就很容易了，将向外的边的梯度加上减去向内的边的梯度就可以得到散度了。对于函数$F$，图的邻接矩阵是$A$，将上面求散度的步骤压缩，最终可以得到这条式子：
上面式子中，$L$就是拉普拉斯矩阵，$\Delta F$是函数$F$在各个节点的散度。在无向图中，拉普拉斯矩阵的计算有下式：
其中$D$是对角矩阵，对角值是对应节点的边权重和。
应用
在求谱分解时，用到了拉普拉斯矩阵瑞丽熵的解；在图卷积神经网络中，通过类比拉普拉斯算子，傅里叶变换的基函数是拉普拉斯算子的特征函数，可以作为新的基底将变量从空间域转换到频域，在图中，将向量转换到拉普拉斯矩阵的特征向量作为基底的空间。