1. 什么是主成分分析
主成分分析是一种数据降维技术，可以将特征从高维空间降维到低维空间，从而提高数据特征的处理效率。主成分分析的目的是找到$K$个特征，这$K$个特征是互不相关，而且要求这$K$个特征的方差尽量大。特征之间不相关保证特征之间的独立性，减少冗余信息；特征的方差尽量大则保证数据在特征上取值尽量分散，有利于利用特征区分样本。
2. 主成分分析的步骤
已知数据样本的特征用矩阵$A_{nm}$表示，则PCA的步骤有：
(1) 计算特征的协方差矩阵$B_{mm}=\frac{1}{n}A^TA$。
(2) 计算协方差矩阵的特征值和特征向量。
(3) 选择前$k$大的特征值对应的特征向量组成矩阵$C_{mk}$。
(4) 得到矩阵$D_{nk}=AC$，矩阵$D$就是降维后的特征。
3. 主成分分析的原理
假设我们现在将每个样本映射到一维，映射矩阵只有一列，设该列为$w$，则有：
根据PCA的要求，$y$的方差要最大，已知$y$的方差为：
我们知道$w$是一个权重向量，表示各个特征的权重，新特征是原特征的加权和，所以有约束：
所以现在是要求：
使用拉格朗日乘子法求上述带约束的最优化问题，可以得到：
所以新特征的方差为：
已知$\frac{1}{n}A^TA$是矩阵$A$的协方差矩阵，所以$w$是矩阵$A$协方差矩阵的特征向量，而且方差等于特征向量的特征值。因为要求方差最大，所以选最大的特征值和对应的特征向量，即解得$w$为最大特征值对应的特征向量。
上面的过程是求解只有一个新特征时的降维矩阵，当需要$k$个新特征时，首先需要协方差矩阵是单位矩阵，即各个特征之间是不相关的，其次需要各个特征的方差都尽量大。已知各个特征向量之间是正交的，所以可以取前$k$大的特征值对应的特征向量组成降维矩阵。